Question

（2012•韶關(guān)一模）如圖所示，圓柱的高為2，底面半徑為

7

，AE、DF是圓柱的兩條母線，過AD作圓柱的截面交下底面于BC．
（1）求證：BC∥EF；
（2）若四邊形ABCD是正方形，求證BC⊥BE；
（3）在（2）的條件下，求四棱錐A-BCE的體積．

Answer 1

分析：（1）在圓柱中：由上底面∥下底面，知BC∥AD，由AE、DF是圓柱的兩條母線，知ADFE是平行四邊形，由此能夠證明BC∥EF．
（2）由AE是圓柱的母線，知AE⊥下底面，由BC?下底面，知AE⊥BC．由此入手能夠證明BC⊥BE．
（3）因為母線AE垂直于底面，所以AE是三棱錐A-BCE的高，EO就是四棱錐E-ABCD的高．設(shè)正方形ABCD的邊長為x，則AB=EF=x，BE=

AB2-AE2

=

x2-4

，由此利用題設(shè)條件，能夠求出四棱錐A-BCE的體積．

解答：（本題滿分14分）
（1）證明：在圓柱中：∵上底面∥下底面，
且上底面∩截面ABCD=AD，下底面∩截面ABCD=BC，
∴BC∥AD…．（2分）
又∵AE、DF是圓柱的兩條母線，
∴AE

∥ .

.

DF，∴ADFE是平行四邊形，
所以AD∥EF，又BC∥AD
∴BC∥EF…．（5分）
（2）∵AE是圓柱的母線，
∴AE⊥下底面，又BC?下底面，∴AE⊥BC…．（7分）
又∵截面ABCD是正方形，所以BC⊥AB，
又AB∩AE=A，∴BC⊥面ABE，
又BE?面ABE，
∴BC⊥BE…（9分）
（3）因為母線AE垂直于底面，
所以AE是三棱錐A-BCE的高…（10分），
EO就是四棱錐E-ABCD的高…（10分）
設(shè)正方形ABCD的邊長為x，則AB=EF=x，
BE=

AB2-AE2

=

x2-4

又∵BC∥EF，且BC⊥BE，∴EF⊥BE，
∴BF為直徑，即BF=2

7

在Rt△BEF中，BF²=BE²+EF²
即(2

7

)2=x2+x2-4⇒x=4，
∴S_ABCD=4×4=16，…（12分）
EO=

AE•BE

AB

=

2× 42-4

4

=

3

，
∴VE-ABCD=

1

3

•OE•SABCD=

1

3

×

3

×16=

16 3

3

．
∴四棱錐A-BCE的體積=

1

2

VE-ABCD=

1

2

×

16 3

3

=

8 3

3

．…（14分）

點評：本題考查直線平行和直線垂直的證明，考查棱錐的體積的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地化空間問題為平面問題．