Question

【題目】已知動圓和定圓外切，和定直線相切.

（1）求該動圓圓心的軌跡的方程；

（2）過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，在曲線上存在一點(diǎn)，使得為定值，求出點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1），（2）存在，點(diǎn).

【解析】

(1)由已知可得：點(diǎn)G的軌跡是到定點(diǎn)C（2，0）的距離和到直線L：x=-2的距離相等的點(diǎn)的集合．由拋物線的定義可知：點(diǎn)P的軌跡是拋物線．求出即可．

(2)設(shè)出直線的方程為: ,聯(lián)立兩方程得，設(shè)設(shè)，得出韋達(dá)定理，設(shè)，表示出，由恒成立的思想可得出定點(diǎn)坐標(biāo).

(1)由圓可得：圓心，半徑．
設(shè)所求動圓圓心為，過點(diǎn)作垂直于直線：，為垂足．
則，可得．
因此可得：點(diǎn)的軌跡是到定點(diǎn)的距離和到直線的距離相等的點(diǎn)的集合,
由拋物線的定義可知：點(diǎn)的軌跡是拋物線，定點(diǎn)為焦點(diǎn)，定直線是準(zhǔn)線．∴拋物線的方程為：．
∴該動圓圓心的軌跡的方程是 ．

(2) 存在定點(diǎn)的坐標(biāo)為，理由如下，

設(shè)直線的方程為: ,由得，，整理得，

設(shè)，則，

設(shè)，則，，

∴

∴當(dāng)時，為定值，此時點(diǎn)，

所以在曲線上存在一點(diǎn)，使得為定值，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為.