Question

已知圓C的圓心與點P（-2，1）關于直線y=x+1對稱．直線3x+4y-11=0與圓C相交于A，B兩點，且|AB|=6，則圓C的方程為

 

．

Answer 1

分析：要求圓C的方程，先求圓心，設圓心坐標為（a，b），根據圓心與P關于直線y=x+1對稱得到直線PC垂直與y=x+1且PC的中點在直線y=x+1上分別列出方程①②，聯立求出a和b即可；再求半徑，根據垂徑定理得到

1

2

|AB|、圓心到直線AB的距離及圓的半徑成直角三角形，根據勾股定理求出半徑．寫出圓的方程即可．

解答：解：設圓心坐標C（a，b），根據圓心與P關于直線y=x+1對稱得到直線CP與y=x+1垂直，
而y=x+1的斜率為1，所以直線CP的斜率為-1即

1-b

-2-a

=-1化簡得a+b+1=0①，
再根據CP的中點在直線y=x+1上得到

1+b

2

=

a-2

2

+1化簡得a-b-1=0②
聯立①②得到a=0，b=-1，所以圓心的坐標為（0，-1）；圓心C到直線AB的距離d=

|-4-11|

32+42

=3，

1

2

|AB|=3
所以根據勾股定理得到半徑r2=32+

(-4-11)2

52

=18，
所以圓的方程為x²+（y+1）²=18．
故答案為：x²+（y+1）²=18

點評：此題是一道綜合題，要求學生會求一個點關于直線的對稱點，靈活運用垂徑定理及點到直線的距離公式解決數學問題．會根據圓心和半徑寫出圓的方程．