Question

【題目】如圖，四邊形為矩形，平面，，平面，且點(diǎn)在上．

（）求證：；

（）求三棱錐的體積；

（）設(shè)點(diǎn)在線(xiàn)段上，且滿(mǎn)足，試在線(xiàn)段上確定一點(diǎn)，使得平面．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）當(dāng)點(diǎn)為線(xiàn)段上靠近點(diǎn)的一個(gè)三等分.

【解析】試題分析：（1）先證明平面，得，由平面，得，從而可得平面，由此能證明；（2）在中，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則平面，由已知及（）得，，從而可得結(jié)果；（3）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，推導(dǎo)出平面，由此能求出當(dāng)點(diǎn)為線(xiàn)段上靠近點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，平面．

試題解析：（）證明：由平面，

及得平面，則，

而平面，則，

又，則平面，

又平面，故．

（）在中，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則平面．

由已知及（）得，．

故．

（）在中過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，

在中過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，

則由得，由平面 平面，

則平面，再由，得平面，

又平面，則平面，

故當(dāng)點(diǎn)為線(xiàn)段上靠近點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，平面．

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線(xiàn)面垂直的判定與性質(zhì)，以及線(xiàn)面平行的判定定理、利用等積變換求三棱錐體積，屬于難題.證明線(xiàn)面平行的常用方法：①利用線(xiàn)面平行的判定定理，使用這個(gè)定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線(xiàn)平行的直線(xiàn)，可利用幾何體的特征，合理利用中位線(xiàn)定理、線(xiàn)面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線(xiàn)平行.②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線(xiàn)平行于另一平面.