Question

（2012•上饒一模）已知函數(shù)f（x）=2x+1，g（x）=x，x∈R，數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足條件：a1=1，an=f(bn)=g(bn+1)，n∈N*．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）令Cn=

2n

anan+1

，Tn是數(shù)列{C_n}的前n項和，求使Tn＞

2011

2012

成立的最小的n值．

Answer 1

分析：（1）由題意得2b_n+1=b_n+1，兩邊同加1，可得數(shù)列{b_n+1}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，從而可求數(shù)列的通項；
（2）確定數(shù)列{C_n}的通項，利用裂項法求數(shù)列的和，利用Tn＞

2011

2012

，即可求得最小的n值．

解答：解：（1）由題意得2b_n+1=b_n+1，∴b_n+1+1=2b_n+2=2（b_n+1）…（2分）
又∵a₁=2b₁+1=1，∴b₁=0，b₁+1=1≠0…（3分）
故數(shù)列{b_n+1}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列…（4分）
∴bn+1=2n-1，
∴bn=2n-1-1，an=2bn+1=2n-1…（6分）
（2）由（1）可知 an=2n-1，an+1=2n+1-1，
故Cn=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

…（8分）
∴Tn=C1+C2+…+Cn=(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

7

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)=1-

1

2n+1-1

…（10分）
由Tn＞

2011

2012

，得2ⁿ⁺¹＞2013，解得n≥10．
∴滿足條件的n的最小值為10．…（12分）

點評：本題考查數(shù)列與函數(shù)的關系，考查數(shù)列遞推式，考查裂項法求數(shù)列的和，確定數(shù)列的通項是關鍵．