Question

【題目】如圖，在多面體中，四邊形為正方形，，，.

（1）證明：平面平面.

（2）若平面，二面角為，三棱錐的外接球的球心為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

證明平面即可證明平面平面（2）由題確定二面角的平面角為，進(jìn)而推出為線段的中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系由空間向量的線面角公式求解即可

（1）證明：因為四邊形為正方形，

所以，

又，，

所以平面.

因為平面，所以平面平面.

（2）解：由（1）知平面，又，則平面，從而，

又，所以二面角的平面角為.

以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則，，.

因為三棱錐的外接球的球心為，所以為線段的中點(diǎn)，

則的坐標(biāo)為，.

設(shè)平面的法向量為，則，

即令，得.

易知平面的一個法向量為，

則.

由圖可知，二面角為銳角，

故二面角的余弦值為.