Question

ABCD是邊長為a的正方形，M，N分別為DA，BC邊上的點，并且MN∥AB交AC于O點，沿MN折成直二面角AB-MN-CD，如圖所示．

    （1）求證：不論MN怎樣平行移動(AB∥MN)，ÐAOC的大小不變；

    （2）當MN在怎樣的位置時，點N到平面ACD的距離有最大值，并求出這個最大值．

Answer 1

答案：
解析：

（1）證明：設(shè)AM=BN=x，則MD=NC=a-x，AM與CN的公垂線為MN=a．     ∴ AC2=AM2+NC2+MN2=x2+(a-x)2+a2=2(x2+a2-ax)     又OC2=[(a-x)]2=2(a-x)2，     OA2=2x2，在DAOC中，     　　 ÐAOC=120°．因此，不論MN怎樣平行移動，ÐAOC=120°定值．     （2）解：∵ MN∥CD，CDÌ平面ACD， MN∥平面ACD．     ∴ 點N到平面ACD的距離就是點M到平面ACD的距離．     作MP^AD于P，MN^MA，MN^MD．∴ MN^平面MAD．     又MPÌ平面MAD．∴ MN^MP．     又CD∥MN，∴ MP^CD．     又AD∩CD=D，∴ MP^平面ADC．     ∵ MP為點N到平面ACD的距離．         ∵ MA+MD=a常數(shù)，     ∴ 當MN=MD=時，即M為正方形ABCD的邊AD的中點時，此時N也為邊BC的中點，MA×MD有最大值．∴ MP的最大值為a．