Question

已知函數(shù)f(x)=2sinxcosx+2

3

cos2 x-

3

+2
（1）求函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸方程；
（2）當(dāng)x∈(0，

π

2

)時(shí)，若函數(shù)g（x）=f（x）+m有零點(diǎn)，求m的范圍；
（3）若f(x0) =

2

5

，x0∈(

π

4

，

π

2

)，求sin（2x₀）的值．

Answer 1

分析：利用輔助角公式可得f（x）=sin2x+

3

cos2x+2=2sin（2x+

π

3

）+2
（1）令2x+

π

3

=

π

2

+kπ可得對(duì)稱軸方程為：x=

π

12

+

kπ

2

，k∈Z
（2）由x∈(0，

π

2

)可得2x+

π

3

∈(

π

3

，

4π

3

)，從而可得∴2sin(2x+

π

3

)+2∈(-

3

+2，4]
而函數(shù)g（x）=f（x）+m有零點(diǎn)，即f（x）=-m有解，可轉(zhuǎn)化為y=f（x）與y=-m有交點(diǎn)，結(jié)合圖象可得-m∈(-

3

+2，4]，
m∈[-4，

3

-2)
（3）由已知可得sin(2x0+

π

3

)=-

4

5

，結(jié)合x0∈(

π

4

，

π

2

)可求cos(2x0+

π

3

)，而sin2x0=sin[(2x0+

π

3

)-

π

3

]利用兩角差的正弦公式可求

解答：解：（1）∵f（x）=sin2x+

3

cos2x+2=2sin（2x+

π

3

）+2（3分）
令2x+

π

3

=

π

2

+kπ可得：x=

π

12

+

kπ

2

，k∈Z，
∴對(duì)稱軸方程為：x=

π

12

+

kπ

2

，k∈Z，．（4分）
（2）∵x∈(0，

π

2

)   2x+

π

3

∈(

π

3

，

4π

3

)
∴sin(2x+

π

3

)∈(-

3

2

，1]
∴2sin(2x+

π

3

)+2∈(-

3

+2，4]（7分）
∵函數(shù)g（x）=f（x）+m有零點(diǎn)，即f（x）=-m有解．（8分）
即-m∈(-

3

+2，4]，m∈[-4，

3

-2)．（9分）
（3）f(x0)=

2

5

即2sin（2x0+

π

3

)+2=

2

5

+2=

2

5

即sin（2x0+

π

3

)=-

4

5

=-

4

5

（10分）
∵x0∈(

π

4

，

π

2

)
∴2x0+

π

3

∈(

5π

6

，

4π

3

)
又∵sin(2x0+

π

3

)=-

4

5

，
∴2x0+

π

3

∈(π，

4π

3

)（11分）
∴cos(2x0+

π

3

)=-

3

5

（12分）
∴sin2x0=sin[(2x0+

π

3

)-

π

3

]（13分）
=sin(2x0+

π

3

)cos

π

3

-cos(2x0+

π

3

)sin

π

3

=(-

4

5

)×

1

2

-(-

3

5

)×

3

2

=

3 3 - 4

10

（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查 了輔助角公式asix+bcosx=

a2+b2

sin(x+θ)的應(yīng)用，正弦函數(shù)的對(duì)稱軸的求解，方程與函數(shù)的相互轉(zhuǎn)化，利用拆角求解三角函數(shù)值，是一道綜合性比較好的試題．