Question

如圖，已知雙曲線的右準(zhǔn)線交x軸于A，虛軸的下端點(diǎn)為B，過雙曲線的右焦點(diǎn)F（c，0）作垂直于x軸的直線交雙曲線于P，過點(diǎn)A、B的直線與FP相交于點(diǎn)D，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（Ⅰ）求雙曲線的離心率；
（Ⅱ）若a=2，過點(diǎn)（0，-2）的直線l交該雙曲線于不同兩點(diǎn)M、N，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)題意可分別表示出點(diǎn)A、B、P、F的坐標(biāo)，則直線AB的方程可表示出，把x=c代入求得y，則d點(diǎn)坐標(biāo)可得，根據(jù)，可知，求得a和b的關(guān)系，進(jìn)而求得a和c的關(guān)系，則雙曲線離心率可得．
（Ⅱ）根據(jù)（1）中a和b的關(guān)系式根據(jù)a可求得b，則雙曲線方程可得，設(shè)出直線l的方程與雙曲線方程聯(lián)立消去y，根據(jù)根據(jù)判別式求得k的范圍，根據(jù)韋達(dá)定理表示出x₁+x₂和x₁x₂的表達(dá)式，進(jìn)而表示出，根據(jù)k的范圍確定其取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）點(diǎn)A、B、P、F的坐標(biāo)分別為，B（0，-b），，F(xiàn)（c，0），
直線AB的方程為，令x=c，則，知，
∵，∴，則，∴a=2b，
∴．

（Ⅱ）∵a=2，∴b=1，雙曲線的方程是，知直線l的斜率存在，
設(shè)直線l方程為y=kx-2，聯(lián)立方程組
得（1-4k²）x²+16kx-20=0，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由解得且．
∴，．=，
∵且，∴，
則的范圍是．
點(diǎn)評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)．考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系．綜合考查了學(xué)生基礎(chǔ)知識的掌握和理解．