Question

設函數(shù)f（x）=cos²ωx其中0＜ω＜2．
（I）設ω=

1

2

，求f（x）的單調增區(qū)間；
（II）若函數(shù)f（x）的圖象的一條對稱軸為x=

π

3

，求ω的值．

Answer 1

分析：（I）把ω的值代入函數(shù)解析式后，利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡得到一個關于x的余弦函數(shù)，找出余弦函數(shù)的單調遞增區(qū)間，即為函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間；
（II）根據(jù)二倍角的余弦函數(shù)公式化簡已知的函數(shù)解析式，因為函數(shù)f（x）的圖象的一條對稱軸為x=

π

3

，把x=

π

3

代入函數(shù)解析式，得到的函數(shù)值f（

π

3

）為函數(shù)的最值，從而得到cos

2π

3

ω=±1，根據(jù)余弦函數(shù)的圖象與性質得

2π

3

ω=kπ
，由k為正整數(shù)且0＜ω＜2，即可得出ω的值．

解答：解：（I）當ω=

1

2

時，f(x)=cos2

1

2

x=

1+cosx

2

，（2分）
∴f（x）的單調增區(qū)間是（2kπ-π，2kπ）（k∈Z）；（5分）

（II）化簡得：f(x)=

1+cos2ωx

2

，
∵函數(shù)f（x）的圖象的一條對稱軸為x=

π

3

，
∴f(

π

3

)=

1+cos 2π 3 ω

2

取最值，
∴cos

2π

3

ω=±1，（8分）
∴

2π

3

ω=kπ（k∈Z），
∴ω=

3

2

k，（10分）
∵0＜ω＜2，
∴ω=

3

2

．（12分）

點評：此題考查了二倍角的余弦函數(shù)公式，余弦函數(shù)的單調性及對稱性，靈活運用二倍角的余弦函數(shù)公式，熟練掌握余弦函數(shù)的圖象與性質是解本題的關鍵．