Question

（2008•深圳一模）（不等式選講選做題）已知點(diǎn)P是邊長(zhǎng)為2

3

的等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)，它到三邊的距離分別為x、y、z，則x、y、z所滿足的關(guān)系式為

x+y+z=3

，x²+y²+z²的最小值是

3

．

Answer 1

分析：設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為a，高為h將P與三角形的各頂點(diǎn)連接，進(jìn)而分別表示出三角形三部分的面積，相加應(yīng)等于總的面積建立等式求得x+y+z的值；再利用：（x²+y²+z²）×（1+1+1 ）≥（x+y+z）²這個(gè)不等關(guān)系進(jìn)行求最小值即可．

解答：解：設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為a，高為h
將P與三角形的各頂點(diǎn)連接
根據(jù)面積
那么：

1

2

ax+

1

2

ay+

1

2

az=

1

2

ah
所以x+y+z=h
因?yàn)榈冗吶�角形的邊長(zhǎng)為2

3

，所以高為h=3
所以x．y．z所滿足的關(guān)系是為：x+y+z=3
∵（x²+y²+z²）×（1+1+1 ）≥（x+y+z）²=9，
∴x²+y²+z²≥9×

1

3

=3，
故 x²+y²+z²的最小值為3，
故答案為：x+y+z=3；3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角形中的幾何計(jì)算、平均值不等式在函數(shù)極值中的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題的能力和轉(zhuǎn)化和化歸的思想．