Question

【題目】如圖，正四面體底面的中心為，的重心為.是內(nèi)部一動點（包括邊界），滿足，，不共線且點到點的距離與到平面的距離相等.

（1）證明：平面；

（2）若，求四面體體積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

1延長AG交BC于M，則M為BC的中點，由于O是的重心，從而，由此能證明平面OPG．

2作于Q點，可證得平面ABM，則，作P到底面上的投影H，則于，由三垂線定理得，從而，由橢圓的第二定義得P點的軌跡是以A為右焦點，直線CD為右準(zhǔn)線的橢圓，由橢圓的對稱性得當(dāng)P與重合時，最大，由此能求出四面體體積的最大值．

（1）證明：如圖，

延長AG交BC于M，則M為BC的中點，

由于O是的重心，則B、O、M共線，

且，

，

又A，P，G三點不共線，則P不在平面ABOG內(nèi)部，

則平面OPG．

2作于Q點，

由，，得平面ABM，

又，則平面ABM，

則，

下面求PQ的最大值，

作P到底面上的投影H，

則于，

由三垂線定理得，

則，

由，得，

接下來，分析在平面ACD中的最小值，

由于，

由橢圓的第二定義得P點的軌跡是以A為右焦點，直線CD為右準(zhǔn)線的橢圓，

由橢圓的對稱性得當(dāng)P與重合時，最大，

此時，設(shè)，則，

，

則，

，解得，

四面體體積．

四面體體積的最大值為．