Question

已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且f （1）=1，若m，n∈[-1，1]，m+n≠0時有

f(m)+f(n)

m+n

＞0，解不等式：f(x+

1

2

)＜f(

1

x-1

)．

Answer 1

分析：利用函數(shù)為奇函數(shù)，結(jié)合已知不等式可以證出函數(shù)f（x）在[-1，1]上為增函數(shù)．由此將欲求解的不等式轉(zhuǎn)化為-1≤x+

1

2

＜

1

x-1

≤1，解之即得不等式的解集．

解答：解：任取-1≤x₁＜x₂≤1，則
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=

f(x1)-f(x2)

x1-x2

•（x₁-x₂）
由已知得

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，
∵-1≤x₁＜x₂≤1，∴x₁-x₂＜0，可得f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x）在[-1，1]上為增函數(shù)，
因此不等式f(x+

1

2

)＜f(

1

x-1

)等價于-1≤x+

1

2

＜

1

x-1

≤1
解此不等式，得：-

3

2

≤x＜-1，即原不等式的解集為[-

3

2

，-1）

點評：本題在已知函數(shù)單調(diào)性和為奇函數(shù)的前提下，解關(guān)于x的不等式，著重考查了函數(shù)的定義域、單調(diào)性和奇偶性等知識，屬于基礎(chǔ)題．