Question

已知函數(shù)，a∈R．
（1）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x）的最大值；
（2）如果對于區(qū)間上的任意一個x，都有f（x）≤1成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）結(jié)合函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征對函數(shù)進行配方可得，進而得到函數(shù)的最大值．
（2）根據(jù)函數(shù)解析式的特征對函數(shù)進行配方可得，結(jié)合函數(shù)的定義域進行換元可得二次函數(shù)，即可利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最值，進而解決恒成立問題．
解答：解：（1）由題意可得：．
所以當(dāng)時，函數(shù)f（x）的最大值是．
（2）．
當(dāng)時，0≤cosx≤1，令t=cosx，則0≤t≤1．
，0≤t≤1．
當(dāng)，即0≤a≤2時，則當(dāng)，即時，
，
解得，
則；  
當(dāng)，即a＜0時，則當(dāng)t=0即cosx=0時，
，
解得，
則a＜0．
當(dāng)，即a＞2時，則當(dāng)t=1即cosx=1時，
，
解得，無解．
綜上可知，a的取值范圍．
點評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，二次函數(shù)的對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系可以確定函數(shù)的最值．