Question

已知向量

m

=(

3

sin

x

4

，1)，

n

=(cos

x

4

，cos2

x

4

)，記f(x)=

m

•

n

，在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足（2a-c）cosB=bcosC，求函數(shù)f（A）的取值范圍．

Answer 1

分析：由正弦定理將（2a-c）cosB=bcosC化為（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，推導(dǎo)得出cosB=

1

2

，B=

π

3

，所以f(A)=sin(

A

2

+

π

6

)+

1

2

且0＜A＜

2π

3

，利用三角函數(shù)圖象與性質(zhì)求解．

解答：解：因為（2a-c）cosB=bcosC，由正弦定理得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC
所以2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC
所以2sinAcosB=sin（B+C）
因為A+B+C=π
所以sin（B+C）=sinA，且sinA≠0
所以cosB=

1

2

，B=

π

3

所以0＜A＜

2π

3

所以

π

6

＜

A

2

+

π

6

＜

π

2

，

1

2

＜sin(

A

2

+

π

6

)＜1
又因為f(x)=

m

•

n

=sin(

x

2

+

π

6

)+

1

2

所以f(A)=sin(

A

2

+

π

6

)+

1

2

故函數(shù)f（A）的取值范圍是(1，

3

2

)

點評：本題考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)，正弦定理的應(yīng)用．考查轉(zhuǎn)化計算能力．