Question

【題目】已知雙曲線的兩個焦點坐標(biāo)分別為和，雙曲線的一條切線與軸交于，且斜率為2.

（1）求雙曲線的方程；

（2）若切線與雙曲線的切點為，證明：.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

解法1 設(shè)雙曲線方程為.

由于其與直線，即相切，

則聯(lián)立方程組只有唯一一組解.

故關(guān)于的方程①有兩個相等的實根，其判別式，即

.②

由雙曲線的兩個焦點坐標(biāo)得其半焦距為.

則.

與式②聯(lián)立解得，.

因此，雙曲線方程為，且式①關(guān)于的方程變?yōu)?/span>

.

代入，得.

這表明，切點.

因此，直線的斜率為，其中，是切線的斜率.

又點與的橫坐標(biāo)相同，則

軸.

解法2 設(shè)雙曲線方程為.

由半焦距，知.

又設(shè)點.則過的切線方程為.

與所給的切線方程，即比較知，.

將其代入，得.

與聯(lián)立解得，.

因此，雙曲線的方程為.

從而，切點坐標(biāo)為.

余下同解法1.