Question

過(guò)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)作直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=4，則這樣的直線(xiàn)有    條．

Answer 1

【答案】分析：右焦點(diǎn)為（，0），當(dāng)AB的斜率不存在時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)滿(mǎn)足條件，當(dāng)AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)AB方程為y-0=k
（x-），代入雙曲線(xiàn)化簡(jiǎn)，求出x₁+x₂ 和x₁•x₂的值，由|AB|=4=，
解得k=±1，得到滿(mǎn)足條件的斜率存在的直線(xiàn)有兩條，故總共有3條．
解答：解：右焦點(diǎn)為（，0），當(dāng)AB的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)AB方程為 x=，
代入雙曲線(xiàn)的方程可得y=±2，即A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為2 和-2，滿(mǎn)足|AB|=4．
當(dāng)AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)AB方程為 y-0=k（x-），代入雙曲線(xiàn)的方程化簡(jiǎn)可得
（2-k²） x²-2 k² x+3k²-2=0，∴x₁+x₂=，x₁•x₂=，
∴|AB|=4=，平方化簡(jiǎn)可得 （3k⁴+6）（k²-1）=0，
∴k=±1，都能滿(mǎn)足判別式△=12-4（2-k²）（3k²-2）＞0．
所以，滿(mǎn)足條件的且斜率存在的直線(xiàn)有2條．
綜上，所有滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)共有3條，
故答案為 3．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，求出滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)的斜率，是解題的關(guān)鍵和難點(diǎn)．