Question

已知數(shù)列的各項(xiàng)均是正數(shù)，其前項(xiàng)和為，滿足.

（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（II）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）. （Ⅱ）詳見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）首先令求出首項(xiàng)，.

由兩式相減，得即.所以，

數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列.由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式便可得數(shù)列的通項(xiàng)公式.

（Ⅱ）證明有關(guān)數(shù)列前項(xiàng)和的不等式，一般有以下兩種思路：一種是先求和后放縮，一種是先放縮后求和.在本題中，由（Ⅰ）可得：，.這顯然用裂項(xiàng)法求和，然后用放縮法即可證明.

試題解析：（Ⅰ）由題設(shè)知，          2分

由兩式相減，得.

所以.            4分

可見，數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列。

所以                     6分

（Ⅱ），           8分

.              10分

=.                 12分

考點(diǎn)：1、等比數(shù)列；2、裂項(xiàng)法；3、不等式的證明.