Question

【題目】某地4個(gè)蔬菜大棚頂部，陽光照在一棵棵茁壯生長的蔬菜上．這些采用水培、無土栽培方式種植的各類蔬菜，成為該地區(qū)居民爭(zhēng)相購買的對(duì)象．過去50周的資料顯示，該地周光照量（小時(shí)）都在30以上．其中不足50的周數(shù)大約有5周，不低于50且不超過70的周數(shù)大約有35周，超過70的大約有10周．根據(jù)統(tǒng)計(jì)某種改良黃瓜每個(gè)蔬菜大棚增加量（百斤）與每個(gè)蔬菜大棚使用農(nóng)夫1號(hào)液體肥料（千克）之間對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)為如圖所示的折線圖：

（Ⅰ）依據(jù)數(shù)據(jù)的折線圖，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程；并根據(jù)所求線性回歸方程，估計(jì)如果每個(gè)蔬菜大棚使用農(nóng)夫1號(hào)肥料10千克，則這種改良黃瓜每個(gè)蔬菜大棚增加量是多少斤？

（Ⅱ）因蔬菜大棚對(duì)光照要求較大，某光照控制儀商家為應(yīng)對(duì)惡劣天氣對(duì)光照的影響，為該基地提供了部分光照控制儀，該商家希望安裝的光照控制儀盡可能運(yùn)行，但每周光照控制儀最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)受周光照量限制，并有如下關(guān)系：

周光照量（單位：小時(shí)）
光照控制儀最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)	3	2	1

若某臺(tái)光照控制儀運(yùn)行，則該臺(tái)光照控制儀周利潤為5000元；若某臺(tái)光照控制儀未運(yùn)行，則該臺(tái)光照控制儀周虧損800元，欲使商家周總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝光照控制儀多少臺(tái)？

附：回歸方程系數(shù)公式： ．

Answer 1

【答案】(1) ；（2）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）算出樣本中心點(diǎn)的坐標(biāo)，利用公式求得，由可得，即可得回歸方程，再將時(shí)代入即可得結(jié)果；（Ⅱ）分別求出安裝2臺(tái)光照控制儀的周利潤的均值、安裝3臺(tái)光照控制儀的均值，與安裝1臺(tái)光照控制儀可獲得周利潤進(jìn)行比較即可得結(jié)果.

試題解析：（Ⅰ） ， ，

， ，

所以關(guān)于的線性回歸方程為，

當(dāng)時(shí)， 百斤＝550斤，

所以估計(jì)如果每個(gè)蔬菜大棚使用農(nóng)夫1號(hào)肥料10千克，則這種改良黃瓜每個(gè)蔬菜大棚增加量是500斤．

（Ⅱ）記商家總利潤為元，由已知條件可知至少需安裝1臺(tái)，

①安裝1臺(tái)光照控制儀可獲得周利潤5000元，

②安裝2臺(tái)光照控制儀的情形：

當(dāng)時(shí)，一臺(tái)光照控制儀運(yùn)行，此時(shí)元，

當(dāng)時(shí)，兩臺(tái)光照控制儀都運(yùn)行，此時(shí)元，

故的分布列為

	4200	10000
	0.2	0.8

所以元，

③安裝3臺(tái)光照控制儀的情形：

當(dāng)時(shí)，一臺(tái)光照控制儀運(yùn)行，此時(shí)元，

當(dāng)時(shí)，兩臺(tái)光照控制儀運(yùn)行，此時(shí)元，

當(dāng)時(shí)，三臺(tái)光照控制儀都運(yùn)行，此時(shí)元，

故的分布列為

	3400	9200	15000
	0.2	0.7	0.1

所以元，

綜上，為使商家周總利潤的均值達(dá)到最大應(yīng)該安裝2臺(tái)光照控制儀．

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線性回歸方程及離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，屬于難題.求回歸直線方程的步驟：①依據(jù)樣本數(shù)據(jù)確定兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系；②計(jì)算的值；③計(jì)算回歸系數(shù)；④寫出回歸直線方程為；(2) 回歸直線過樣本點(diǎn)中心是一條重要性質(zhì)，利用線性回歸方程可以估計(jì)總體，幫助我們分析兩個(gè)變量的變化趨勢(shì).