Question

已知兩點(diǎn)A、B分別在直線y=x和y=-x上運(yùn)動(dòng)，且，動(dòng)點(diǎn)P滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)P的軌跡記為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）過曲線C上任意一點(diǎn)作它的切線l，與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，求證：為定值．

Answer 1

解：（1）（方法一）設(shè)P（x，y），A（x₁，x₁），B（x₂，-x₂）．
∵，∴P是線段AB的中點(diǎn)，∴（2分）
∵，∴，∴．
∴化簡得點(diǎn)P的軌跡C的方程為．（5分）
（方法二）∵，∴P為線段AB的中點(diǎn)、（2分）
∵M(jìn)、N分別在直線y=x和y=-x上，∴∠AOB=90°．
又，∴，∴點(diǎn)P在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上、
∴點(diǎn)P的軌跡C的方程為．（5分）
（2）證明：當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l：y=kx+m，
∵l與C相切，∴=，∴．
聯(lián)立，∴．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁•x₂=，．（8分）
∴•=x₁x₂+y₁y₂=．
又，∴•=0．（10分）
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l的方程為x=±，代入橢圓方程得
M（，），N（，-）或M（-，），N（-，-），
此時(shí)，•=-=0．
綜上所述，•為定值0．（12分）
分析：（1）（方法一）設(shè)P（x，y），A（x₁，x₁），B（x₂，-x₂）．由，知P是線段AB的中點(diǎn)，由此能得到點(diǎn)P的軌跡C的方程．
（方法二）由，知P為線段AB的中點(diǎn)，由M、N分別在直線y=x和y=-x上，知∠AOB=90°．由此能得到點(diǎn)P的軌跡C的方程．
（2）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l：y=kx+m，由l與C相切，知=，．聯(lián)立，故．由此能夠證明•為定值0．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與圓、橢圓的相關(guān)知識(shí)．