Question

（本小題滿分13分）設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為，橢圓上兩點(diǎn)在軸上的射影分別為左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)，直線的斜率為，過點(diǎn)且與垂直的直線與軸交于點(diǎn)，的外接圓為圓．
（1）求橢圓的離心率；
（2）直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，求橢圓方程；
（3）設(shè)點(diǎn)在橢圓C內(nèi)部，若橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)N的最遠(yuǎn)距離不大于，求橢圓C的短軸長的取值范圍．

Answer 1

（1）  
（2）
（3）2

（1）由條件可知，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823142050232434.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以得：                         …………4分
（2）由（1）可知，，所以，，
從而
半徑為a，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823142049904646.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以，
可得：M到直線距離為
從而，求出，所以橢圓方程為：；       …………8分
（3）因?yàn)辄c(diǎn)N在橢圓內(nèi)部，所以b>3                       …………9分
設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)為，則
由條件可以整理得：對任意恒成立，
所以有：
或者
解之得： 2                       …………13分