Question

設(shè)f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)．已知對(duì)于任意正數(shù)x，都有f[f(x)+

2

x

]=

1

f(x)

，且f（1）=a＞0．
（Ⅰ）求f（a+2），并求a的值；
（Ⅱ）令an=

1

f(n)

，n∈N*，證明：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．

Answer 1

分析：（Ⅰ）對(duì)x進(jìn)行賦值，先取x=1，然后取x=a+2，建立等量關(guān)系，最后根據(jù)單調(diào)性建立關(guān)于a的方程，解之即可；
（Ⅱ）對(duì)x進(jìn)行賦值，先取x=n，然后取x=x=

1

an

+

2

n

，建立等量關(guān)系，最后根據(jù)單調(diào)性建立關(guān)于a_n的方程，求出a_n，再根據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行判定即可．

解答：解：（Ⅰ）取x=1，則f(a+2)=

1

a

；
再取x=a+2，則f(

1

a

+

2

a+2

)=a=f(1)
∵f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)∴

1

a

+

2

a+2

=1，
解之得：a=2，或a=-1（舍去）．
（Ⅱ）取x=n，
則f[f(n)+

2

n

]=

1

f(n)

，f[

1

an

+

2

n

]=

1

f(n)

=an
再取x=

1

an

+

2

n

，
則f[f(

1

an

+

2

n

)+

2

1 an + 2 n

]=

1

f( 1 an + 2 n )

=f(n)
∵f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)
∴an+

2

1 an + 2 n

=n，即2a_n²+na_n-n²=0
解之得：an=

n

2

，或a_n=-n（舍去）
又an+1-an=

1

2

（常數(shù)）n∈N^*
所以，數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，以及等差數(shù)列的求和等有關(guān)知識(shí)，屬于中檔題之列．