Question

（09年西城區(qū)抽樣文）（14分）

已知的頂點(diǎn)A在射線上， A, B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且線段AB上有一點(diǎn)M滿足. 當(dāng)點(diǎn)A在l₁上移動時，記點(diǎn)M的軌跡為W.

    (Ⅰ) 求軌跡W的方程；

    (Ⅱ) 設(shè)N(2,0)，過N的直線l與W相交于P、Q兩點(diǎn). 求證：不存在直線l，使得.

Answer 1

解析：（Ⅰ）解：因?yàn)?I>A, B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，

         所以AB邊所在直線與y軸平行.          

設(shè)M(x, y)，由題意，得，           ---------------------2分

     所以，                    

因?yàn)?IMG height=21 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090514/20090514154235003.gif' width=108>，

所以，即，          ---------------------5分

所以點(diǎn)M的軌跡W的方程為.            ------------------6分

  （Ⅱ）證明：設(shè)或，，

     當(dāng)直線時：

         由題意，知點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)是方程組的解，

         消去y得，

         所以，且，

             ，                  ------------8分

             因?yàn)橹本�l與雙曲線的右支（即W)相交兩點(diǎn)P、Q，

             所以，即.     1----9分

因?yàn)?IMG height=24 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090514/20090514154236018.gif' width=322>，

所以，                         

                       ，

                       

，                        --------------------11分

       要使，則必須有，解得，代入1不符合. --12分

                 所以不存在l，使得.

        當(dāng)直線時，P(2, 3)，，，不符合題意.

        綜上：不存在直線l使得.                   ------------------14分