Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

x2+1

x

(x≠0)
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并證明；
（2）若0＜x＜1，判斷f（x）的單調(diào)性，用定義證明，并比較f（sinα）與f(cosα)(0＜α＜

π

2

)的大小．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)奇偶性的定義，判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明即可．

解答：解：（1）函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，
因?yàn)?span id="pv4ia54" class="MathJye">f(-x)=

x2+1

-x

=-

x2+1

x

=-f(x)，
所以函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
（2）設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，
則f(x2)-f(x1)=

x 2 2 +1

x2

-

x 2 1 +1

x1

=(x2-x1)?

x1x2-1

x1x2

，
因?yàn)?＜x₁＜x₂0，x₁x₂＜1，
所以f(x2)-f(x1)=(x2-x1)?

x1x2-1

x1x2

＜0，
即f（x₂）＜f（x₁），所以函數(shù)在（0，1）上為單調(diào)減函數(shù)．
當(dāng)0＜α＜

π

4

時(shí)，cosα＞sinα，此時(shí)f（sinα）＞f（cosα），
當(dāng)α=

π

4

時(shí)，cosα=sinα，此時(shí)f（sinα）=f（cosα），
當(dāng)

π

4

＜α＜

π

2

時(shí)，cosα＜sinα，此時(shí)f（sinα）＜f（cosα）．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷和函數(shù)單調(diào)性的證明和應(yīng)用，利用定義法是解決本題的關(guān)鍵，要注意對角α進(jìn)行分類討論，綜合性較強(qiáng)，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．