Question

下列結(jié)論中：
①定義在R上的任一函數(shù)，總可以表示成一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和；
②若f（3）=f（-3），則函數(shù)f（x）不是奇函數(shù)；
③對應(yīng)法則和值域相同的兩個函數(shù)的定義域也相同；
④若x₁是函數(shù)f（x）的零點，且m＜x₁＜n，那么f（m）•f（n）＜0一定成立．
其中正確的是

①

（把你認為正確的序號全寫上）．

Answer 1

分析：①利用函數(shù)奇偶性性質(zhì)判斷．②根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)判斷．③根據(jù)定義域和值域之間的關(guān)系判斷．④根據(jù)根的存在性定理進行判斷．

解答：解：①設(shè)f（x）=g（x）+h（x），其中g(shù)（x）為奇函數(shù)，h（x）為偶函數(shù)，則f（-x）=g（-x）+h（-x）=-g（x）+h（x），
兩式聯(lián)立得，g（x）=

f(x)-f(-x)

2

，h(x)=

f(x)+f(-x)

2

，所以①正確．
②若函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，則有f（-3）=-f（3），若f（3）=f（-3），則必有f（3）=f（-3）=0，所以當f（3）=f（-3）=0，函數(shù)有可能是奇函數(shù)，所以②錯誤．
③當函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則相同時，函數(shù)的值域相同，但值域相同時，定義域不一定相同，
比如函數(shù)f（x）=x²，當定義域為[0，1]時，值域為[0，1]，當定義域為[-1，1]時，值域為[0，1]，所以③錯誤．
④若x₁是函數(shù)f（x）的零點，則根據(jù)根的存在性定理可知，f（m）•f（n）＜0不一定成立，比如函數(shù)f（x）=x²的零點是0，但f（m）•f（n）＞0，所以④錯誤．
故答案為：①

點評：本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，考查函數(shù)的奇偶性和根的存在性定理的應(yīng)用，比較綜合．