Question

已知圓x²+y²=1與x軸的兩個交點為A、B，若圓內的動點P使|PA|、|PO|、|PB|成等比數列，則

PA

•

PB

的取值范圍為（　�。�

• A、(0，

  1

  2

  ]
• B、[-

  1

  2

  ，0)
• C、(-

  1

  2

  ，0)
• D、[-1，0）

Answer 1

分析：先設P（x，y） A（-1，0），B（1，0）分別表示出

PA

，

PB

，

PO

，根據把

PA

，

PB

代入|PA|•|PB|=PO²整理可得x²-y²=

1

2

可知點P的軌跡為雙曲線，通過與圓的方程聯立即可求得它們的交點，得x²=

3

4

，但P（x，y）在圓內，故對P，只能x²＜

3

4

，又根據x²-y²=

1

2

可知x²＞=

1

2

，進而可得的x²范圍，設z=

PA

•

PB

=x²-1+y²，把x²-y²=

1

2

代入z，進而可得答案．

解答：解：設P（x，y） A（-1，0），B（1，0）
則

PA

=（-1-x，-y）

PB

=（1-x，-y）

PO

=（-x，-y）
設z=PA•PB=x²-1+y²．（1）
又∵|PA|•|PB|=PO²
∴[（1+x）²+y²]•[（1-x）²+y²]=（x²+y²）²
整理得：x²-y²=

1

2

（2）
這是P點滿足的條件 （其圖形為一雙曲線）
求它與圓的交點：
即，解方程組：
x²+y²=1．（3）
x²-y²=

1

2

（4）
得x²=

3

4

（5）
（但P（x，y）在圓內，故對P，只能x²＜

3

4

又由（2）知x²＞=

1

2

，
即

1

2

≤x²＜

3

4

（6）
由（2）還得：y²=x²-

1

2

代入（1），得
z=2x²-

3

2

（7）
由（（6），（7）知，z的取值范圍為
為：[-

1

2

，0）
故選B

點評：本題主要考查了等比數列和平面向量的性質．要特別把握好平面向量的運算法則．