Question

【題目】已知,數(shù)列、滿足:,,記．

（1）若，，求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；

（2）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；

（3）定義，證明：若存在，使得、為整數(shù)，且有兩個(gè)整數(shù)零點(diǎn)，則必有無(wú)窮多個(gè)有兩個(gè)整數(shù)零點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）

（2）證明見解析

（3）證明見解析

【解析】

（1）通過(guò)、可知數(shù)列是首項(xiàng)、公差均為1的等差數(shù)列；通過(guò)，當(dāng)時(shí)利用計(jì)算，進(jìn)而可得結(jié)論；

（2）通過(guò)（1）代入計(jì)算即得結(jié)論；

（3）通過(guò)分析可知方程有兩個(gè)整數(shù)根，利用，只需令為整數(shù)即可．

（1）解：，，

數(shù)列是首項(xiàng)、公差均為1的等差數(shù)列，

；

又，

，

又，

當(dāng)時(shí)，

，

又當(dāng)時(shí)上式成立，

；

（2）證明：，，

，

數(shù)列是等差數(shù)列；

（3）證明：依題意，方程有兩個(gè)整數(shù)根，

則，且為整數(shù)，

又、為整數(shù)，

滿足題意，

必有無(wú)窮多個(gè)有兩個(gè)整數(shù)零點(diǎn)．