Question

【題目】已知點(diǎn)M（x，y）滿(mǎn)足

（1）求點(diǎn)M的軌跡E的方程；

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)N（﹣1，0）的直線(xiàn)l與曲線(xiàn)E交于A，B兩點(diǎn)，若△OAB的面積為（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．求直線(xiàn)l的方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）或

【解析】

（1）根據(jù)幾何意義可知，點(diǎn)滿(mǎn)足動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和為，且，所以點(diǎn)滿(mǎn)足橢圓的定義，寫(xiě)出軌跡方程；（2）首先分直線(xiàn)與軸垂直和軸不垂直兩種情況討論，當(dāng)斜率存在時(shí)，與橢圓方程聯(lián)立，設(shè)交點(diǎn)，，根據(jù)條件可知 ，即，利用根與系數(shù)的關(guān)系求，即得直線(xiàn)的方程.

解：（1）由已知，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)，的距離之和為，

且，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓.而，，所以，

所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為.

（2）當(dāng)直線(xiàn)與軸垂直時(shí)，，，此時(shí)，

則，不滿(mǎn)足條件．

當(dāng)直線(xiàn)與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，

由得，

所以，.

而，

由得.

所以，則，所以，

所以直線(xiàn)的方程為或．