Question

如圖，F₁，F₂是離心率為的橢圓C：(a＞b＞0)的左、右焦點，直線：x＝－將線段F₁F₂分成兩段，其長度之比為1 : 3．設(shè)A，B是橢圓C上的兩個動點，線段AB的中垂線與C交于P，Q兩點，線段AB的中點M在直線l上．

(Ⅰ) 求橢圓C的方程；

(Ⅱ) 求的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

(1)

(2)的取值范圍為[，）．

【解析】

試題分析：(Ⅰ) 設(shè)F₂(c，0)，則

＝，

所以c＝1．

因為離心率e＝，所以a＝．

所以橢圓C的方程為．                  5分

(Ⅱ) 當直線AB垂直于x軸時，直線AB方程為x＝－，此時P(，0)、Q(,0)

．

當直線AB不垂直于x軸時，設(shè)直線AB的斜率為k，M(－，m) (m≠0)，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．

由  得

(x₁＋x₂)＋2(y₁＋y₂)＝0，

則－1＋4mk＝0，

故k＝．

此時，直線PQ斜率為，PQ的直線方程為

．

即  ．

聯(lián)立 消去y，整理得

．

所以，．

于是(x₁－1)(x₂－1)＋y₁y₂

．

令t＝1＋32m²，1＜t＜29，則

．

又1＜t＜29，所以

．

綜上，的取值范圍為[，）．     13分

考點：橢圓的性質(zhì)以及直線于橢圓的位置關(guān)系

點評：解決的關(guān)鍵是根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)來得到其方程，然后結(jié)合聯(lián)立方程組來得到向量的坐標關(guān)系式，進而通過向量的數(shù)量積來得到結(jié)論，屬于中檔題。