Question

設數列{a_n}的通項是關于x的不等式x²-x＜（2n-1）x（n∈N′）的解集中整數的個數．
（1）求a_n并且證明{a_n}是等差數列；
（2）設m、k、p∈N*，m+p=2k，求證：

1

Sm

+

1

Sp

≥

2

Sk

；
（3）對于（2）中的命題，對一般的各項均為正數的等差數列還成立嗎？如果成立，請證明你的結論，如果不成立，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意知數列{a_n}的通項是關于x的不等式的解集中整數的個數，題目首先應該解不等式，從不等式的解集中得到整數的個數，得到數列的通項，用等差數列的定義來驗證．
（2）根據前面結果寫出要用的前幾項的和，從不等式的一側入手，利用均值不等式得到要求的結論．
（3）本題是對上一問的延伸，方法和前面的類似，但題目所給的一般的各項均為正數的等差數列在整理時增加了難度，題目絕大部分工作是算式的整理，注意不能出錯．

解答：解：（1）不等式x²-x＜（2n-1）x即x（x-2n）＜0
解得：0＜x＜2n，其中整數有2n-1個
∴a_n=2n-1，
由通項公式可得：a_n-a_n-1=2，
∴數列{a_n}是等差數列；
（2）由（1）知Sn=

n(1+2n-1)

2

=n2，
∴S_m=m²，S_p=p²，S_k=k²．
由

1

Sm

+

1

Sp

-

2

Sk

=

1

m2

+

1

p2

-

2

k2

=

k2(m2+p2)-2m2p2

m2p2k2

≥

2mp•mp-2m2p2

m2p2k2

=0，
即

1

Sm

+

1

Sp

≥

2

Sk

；
（3）結論成立，證明如下：
設等差數列{a_n}的首項為a₁，公差為d，
則Sn=na1+

n(n-1)

2

d=

n(a1+an)

2

，
∵Sm+Sp-2Sk=ma1+

m(m-1)

2

d+pa1+

p(p-1)

2

d-[2ka1+k(k-1)d]=(m+p)a1+

m2+p2-(m+p)

2

d-[2ka1+(k2-k)d]，
把m+p=2k代入上式化簡得S_m+S_p-2S_k=

m2+p2-2×( m+p 2 )2

2

•d=

(m-p)2d

4

≥0，
∴S_m+S_p≥2S_k．
又Sm•Sp=

mp(a1+am)(a1+ap)

4

=

mp[ a 2 1 +a1(am+ap)+am•ap]

4

≤

( m+p 2 )2[ a 2 1 +2a1•ak+( am+ap 2 )2]

4

=

k2( a 2 1 +2a1ak+ a 2 k )

4

=

k2(a1+ak)2

4

=(

Sk

2

)2，
∴

1

Sm

+

1

Sp

=

Sm+Sp

SmSp

≥

2Sk

( Sk 2 )2

=

2

Sk

．
故原不等式得證．

點評：本題沒有具體的數字運算但運算量非常大，它考查的是等差數列和等比數列的性質，基本不等式，實際上這類問題比具體的數字運算要困難，是幾個知識點結合起來的綜合問題．