Question

圓x²+y²=1內(nèi)接等腰梯形A，B，C，D，其中AB為圓的直徑（如圖）． 
（1）設C（x，y）（x＞0），記梯形ABCD的周長為f（x），求f（x）的解析式及最大值；
（2）求梯形ABCD面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圓心為O，則OA=OB=OC=OD=1，設腰長為b，上底長是2x，利用勾股定理得出，則y=2+2x+2

2-2x

，再利用二次函數(shù)最值求出即可．
（2）由（1）知，梯形面積為S(x)=(x+1)

1-x2

(0＜x＜1)，利用導數(shù)求最值的方法可知，函數(shù)函數(shù)在（0，

1

2

）上單調(diào)遞增，在(

1

2

，1)單調(diào)遞減，由此可求面積的最大值．

解答：解：（1）圓心為O，連接OD，OC，過O作OE⊥CD，過C作CP⊥OB，
∴E為DC的中點，DE=CE=

1

2

CD=x，
∵等腰梯形ABCD，
∴DC∥AB，OE⊥CD，
∴OE⊥AB，
∴∠CEO=∠EOP=∠OPC=90°，
∴四邊形EOPC為矩形，
∴EC=OP，則OA=OB=OC=OD=1，
設腰長為b，由于上底長是2x，過C作直徑的垂線，垂足是P，
則b²=CP²+PB²=OC²-OP²+PB²=1-x²+（1-x）²=2-2x
所以y=2+2x+2b=2+2x+2

2-2x

令t=

2-2x

（0＜t＜

2

），則x=1-

1

2

t2
故y=2+2(1-

1

2

t2)+2t=-t2+2t+4=-(t-1)2+5
∴該梯形周長的最大值是5；
（2）由（1）知，CP²=1-x²，
則S(x)=

1

2

×(2+2x)×

1-x2

=(x+1)

1-x2

(0＜x＜1)，
所以若令S′(x)=

1-x2

+(x+1)×

1

2

×

-2x

2-2x

=

-2x2-x+1

1-x2

=0  
則2x²+x-1=0（0＜x＜1），解得 x=

1

2

 
當0＜x＜

1

2

時，S′（x）＞0，當

1

2

＜x＜1時，S′（x）＜0，
所以當x=

1

2

時，S（x）有最大值

3 3

4

，
即梯形ABCD面積的最大值為

3 3

4

．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的最值以及等腰梯形的性質(zhì)和解直角三角形以及利用導數(shù)求函數(shù)的最值問題，根據(jù)題意得出y=2+2x+2

2-2x

從而利用二次函數(shù)最值求法求出是解決問題的關鍵．