Question

已知拋物線C：x²=y和定點(diǎn)P(1，2)，A，B為拋物線C上的兩個動點(diǎn)，且直線PA和PB的斜率為非零的互為相反數(shù)。
(Ⅰ)求證：直線AB的斜率是定值；
(Ⅱ)若拋物線C在A，B兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)M，求M的軌跡方程；
(Ⅲ)若A′與A關(guān)于y軸成軸對稱，求直線A′B與y軸交點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

解：(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）(x_A≠x_B)，直線PA的斜率為k(k≠0)，則直線PB的斜率為-k，
∴PA的直線方程為y-2=k(x-2)，
由消y，得，
因?yàn)辄c(diǎn)P在曲線C上，所以，由韋達(dá)定理，得，，
∴，同理，
則。
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)M(x，y)，則由y=2x²，得y′=4x，
所以直線M的方程為：y-y_A=4x_A(x-x_A)，①
同理直線MB的方程為：y-y_B=4x_B(x-x_B)，②
由①②，得，③
把③代入①整理，得，
所以，動點(diǎn)M的軌跡方程為x=-1（y＜2）。
(Ⅲ)由已知，，
∴，
則直線A′B的方程為，
即，
令x=0，整理得，
即直線A′B與y軸交點(diǎn)P的縱坐標(biāo)取值范圍是（-∞，2）。