Question

已知函數(shù)f(x)=2cos2x+2

3

sinx•cosx+m
（1）若f（x）的最大值為1，求m的值
（2）當(dāng)x∈[0， 

π

4

]時(shí)，|f（x）|≤4恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）首先對(duì)于所給的三角函數(shù)是進(jìn)行整理，先逆用正弦與余弦的二倍角公式，再利用兩角和的正弦公式，做出能夠求解最值的形式，根據(jù)最值的結(jié)果，求出字母系數(shù)．
（2）根據(jù)所給的x的值，做出函數(shù)式的值域，根據(jù)由|f（x）|≤4，得-4≤f（x）≤4恒成立．得到m+2≥-4，且m+3≤4，得到-6≤m≤1為所求．

解答：解：（1）f(x)=1+cos2x+

3

sin2x+m=2sin(2x+

π

6

)+m+1…．（2分）
當(dāng)sin(2x+

π

6

)=1時(shí)，f（x）的最大值為m+3，
由題意，m+3=1，所以m=-2…．（4分）
（2）x∈[0，

π

4

]，則2x+

π

6

∈[

π

6

，

2π

3

]，sin(2x+

π

6

)∈[

1

2

，1]
所以f（x）∈[m+2，m+3]…．（6分）
由|f（x）|≤4，得-4≤f（x）≤4恒成立．
∴m+2≥-4，且m+3≤4
所以-6≤m≤1為所求．…．（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的恒成立問(wèn)題，考查三角函數(shù)的恒等變形，本題解題的關(guān)鍵是求出三角函數(shù)式的值域，根據(jù)所給的不等式恒成立得到不等式組，本題是一個(gè)中檔題目．