Question

已知拋物線y=（m-1）x²+（m-2）x-1（m∈R）．
（1）當m為何值時，拋物線與x軸有兩個不同的交點？
（2）若關于x的方程（m-1）x²+（m-2）x-1=0的兩個不等實根的倒數(shù)平方和不大于2，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

（1）由題意可知m≠1，且△＞0，
即（m-2）²+4（m-1）＞0，
得m²＞0，
所以m≠1且m≠0．
（2）由（1）知△＞0，所以設方程的兩實根為x₁，x₂，
由韋達定理可得：x₁+x₂=

2-m

m-1

，x₁x₂=

1

1-m

所以

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=m-2
∴

1

x12

+

1

x22

=（m-2）²+2（m-1）≤2
所以m²-2m≤0，
所以0≤m≤2．
又由（1）知m≠1且m≠0，
所以m的范圍為0＜m＜1或1＜m≤2．