Question

已知函數(shù)f（x）=（a²-a+1）x^a+1為冪函數(shù)，且為奇函數(shù)；
（1）求a的值；
（2）求函數(shù)g(x)=f(x)+

1-2f(x)

在x∈[0，

1

2

]的值域．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）=（a²-a+1）x^a+1為冪函數(shù)，可得a²-a+1=1，解得a=0或1．再利用函數(shù)是奇函數(shù)，進(jìn)一步確定a的值．
（2）求得函數(shù)g（x）=x+

1-2x

，x∈[0，

1

2

]，利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)．再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的值域．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）=（a²-a+1）x^a+1為冪函數(shù)，可得a²-a+1=1，解得a=0或1．
當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x，為奇函數(shù)．
當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x²，為偶函數(shù)，
∵f（x）為奇函數(shù)，∴a=0．
綜上，a=0．
（2）∵函數(shù)g(x)=f(x)+

1-2f(x)

=x+

1-2x

，x∈[0，

1

2

]，
令 t=

1-2x

≥0，可得0≤t≤1，則x=

1-t2

2

，且 g（x）=

1-t2

2

+t=1-

1

2

（t-1）²，
故當(dāng)t=0時(shí)，函數(shù)取得最小值為

1

2

，
當(dāng)t=1時(shí)，函數(shù)取得最大值為1，
故函數(shù)的值域?yàn)閇0，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的應(yīng)用，求函數(shù)的值域，屬于中檔題．