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        1. 在四棱錐P—ABCD中,底面ABCD是矩形,AB=2,BC=a,又側(cè)棱PA⊥底面ABCD.

          (1)當(dāng)a為何值時(shí),BD⊥平面PAC?試證明你的結(jié)論.

          (2)當(dāng)a=4時(shí),求證:BC邊上存在一點(diǎn)M,使得PM⊥DM.

          (3)若在BC邊上至少存在一點(diǎn)M,使PM⊥DM,求a的取值范圍.

          思路分析:本題第(1)問(wèn)是尋求BD⊥平面PAC的條件,即BD垂直于平面PAC內(nèi)兩相交直線,易知BD⊥PA,問(wèn)題歸結(jié)為a為何值時(shí),BD⊥AC,從而知ABCD為正方形.

          (1)解:當(dāng)a=2時(shí),ABCD為正方形,則BD⊥AC.

              又∵PA⊥底面ABCD,BD平面ABCD,

              ∴BD⊥PA.

              ∴BD⊥平面PAC.

              故當(dāng)a=2時(shí),BD⊥平面PAC.

          (2)證明:當(dāng)a=4時(shí),取BC邊的中點(diǎn)M,AD邊的中點(diǎn)N,連結(jié)AM、DM、MN.

              ∵ABMN和DCMN都是正方形,∴∠AMD=∠AMN+∠DMN=45°+45°=90°,即DM⊥AM.又PA⊥底面ABCD,由三垂線定理,得PM⊥DM,故當(dāng)a=4時(shí),BC邊的中點(diǎn)M使PM⊥DM.

          (3)解:設(shè)M是BC邊上符合題設(shè)的點(diǎn)M,

              ∵PA⊥底面ABCD,

              ∴DM⊥AM.

              因此,M點(diǎn)應(yīng)是以AD為直徑的圓和BC邊的一個(gè)公共點(diǎn),則AD≥2AB,即a≥4為所求.

          講評(píng):本題的解決中充分運(yùn)用了平面幾何的相關(guān)知識(shí).因此,立體幾何解題中,要注意有關(guān)的平面幾何知識(shí)的運(yùn)用.事實(shí)上,立體幾何問(wèn)題最終是在一個(gè)或幾個(gè)平面中得以解決的.

          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          精英家教網(wǎng)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面為直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC=2,M,N分別為PC、PB的中點(diǎn).
          (1)求證:PB⊥DM;
          (2)求BD與平面ADMN所成角的大;
          (3)求二面角B-PC-D的大小.

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          (1)用空間向量證明:AM⊥MC,平面ABM⊥平面PCD.
          (2)求直線CD與平面ACM所成的角的正弦值.
          (3)求點(diǎn)N到平面ACM的距離.

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          如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,O為底面中心,PA⊥平面ABCD,PA=AD=2AB.M是PD的中點(diǎn)
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          (2)求證:平面PCD⊥平面ABM.

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          如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2
          2
          ,∠PAB=60°.
          (1)求證:AD⊥平面PAB;
          (2)求二面角A-PB-D的余弦值.

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          (2009•成都模擬)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,且PD⊥平面ABCD,PD=AB=1,EF分別是PB、AD的中點(diǎn),
          (I)證明:EF∥平面PCD;
          (Ⅱ)求二面角B-CE-F的大小.

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