Question

（本小題滿分14分）對于定義在區(qū)間D上的函數(shù)，若存在閉區(qū)間和常數(shù)，使得對任意，都有，且對任意∈D，當時，恒成立，則稱函數(shù)為區(qū)間D上的“平底型”函數(shù).

（Ⅰ）判斷函數(shù)和是否為R上的“平底型”函數(shù)？并說明理由；

（Ⅱ）設是（Ⅰ）中的“平底型”函數(shù)，k為非零常數(shù)，若不等式 對一切R恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）若函數(shù)是區(qū)間上的“平底型”函數(shù)，求和的值.

 

Answer 1

【答案】

 

【解析】

【解】（1）對于函數(shù)，當時，.

當或時，恒成立，故是“平底型”函數(shù)

……………………………………………………………2分

對于函數(shù)，當時，；

當時，.

所以不存在閉區(qū)間，使當時，恒成立.

故不是“平底型”函數(shù).                 ……………………………………4分

（Ⅱ）若對一切R恒成立，則.

因為，所以.又，則.  ……6分

因為，則，解得.

故實數(shù)的范圍是.              …………………………………………………8分

（Ⅲ）因為函數(shù)是區(qū)間上的“平底型”函數(shù)，則

存在區(qū)間和常數(shù)，使得恒成立.

所以恒成立，即.解得或.  ……10分

當時，.

當時，，當時，恒成立.

此時，是區(qū)間上的“平底型”函數(shù).                ………………12分

當時，.

當時，，當時，.

此時，不是區(qū)間上的“平底型”函數(shù).                 ………………13分

綜上分析，m＝1，n＝1為所求.                 ………………………………………14分