Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²+（a+2）x+b滿足f（-1）=-2．
（1）若方程f（x）=2x有唯一解，求實數(shù)a，b的值；
（2）當x∈[-2，2]時，函數(shù)f（x）在頂點取得最小值，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：先根據(jù)f（-1）=2，把x=-1代入f（x）的解析式中讓其值等于-2得到關(guān)于a與b的關(guān)系式，記作①，
（1）把f（x）的解析式代入到f（x）=2x中化為一般形式，由方程有唯一的解得到△=0，即可列出關(guān)于a與b的關(guān)系式，記作②，聯(lián)立①②即可求出a與b的值；
（2）由函數(shù)解析式可知，此二次函數(shù)為開口向上的拋物線，又當x∈[-2，2]時，函數(shù)f（x）在頂點取得最小值，得到其對稱軸在區(qū)間內(nèi)，根據(jù)f（x）解析式表示出對稱軸，讓對稱軸大于等于-2和小于等于2列出關(guān)于a的不等式組，求出不等式組的解集即可得到a的取值范圍．

解答：解：由f（-1）=-2得：1-a-2+b=-2，即a-b=1①，
（1）把f（x）的解析式代入f（x）=2x中，得到x²+ax+b=0，
因為方程由唯一的解，所以△=a²-4b=0②，
由①得：a=b+1，代入②得：（b-1）²=0，解得b=1，把b=2代入①解得：a=2；
（2）因為二次函數(shù)f（x）=x²+（a+2）x+b為開口向上的拋物線，且當x∈[-2，2]時，函數(shù)f（x）在頂點取得最小值，
所以對稱軸x=-

a+2

2

∈[-2，2]，即

- a+2 2 ≥-2① - a+2 2 ≤2②

，
由①解得：a≤2；由②解得a≥-6，所以不等式組的解集為-6≤x≤2．
故a的取值范圍是-6≤x≤2．

點評：此題考查學生會利用根的判別式判斷方程解的情況，掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，是一道綜合題．