Question

已知函數(shù)f(x)=

(1)若h(x)=f(x)-g(x)存在單調(diào)增區(qū)間，求a的取值范圍；

(2)是否存在實(shí)數(shù)a>0，使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？若存在，求出a的取值范圍？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

（Ⅰ） a的取值范圍是(-1, 0)∪(0, +∞) （Ⅱ）a的取值范圍是(1, )

解析:

（1）由已知，得h(x)=  且x>0, 

        則hˊ(x)=ax+2-=,   （2分）

       ∵函數(shù)h(x)存在單調(diào)遞增區(qū)間,

∴hˊ(x)≥0有解, 即不等式ax²+2x-1≥0有x>0的解.  （3分）

當(dāng)a<0時(shí), y=ax²+2x-1的圖象為開(kāi)口向下的拋物線(xiàn), 要使ax²+2x-1≥0總有x>0的解, 則方程ax²+2x-1=0至少有一個(gè)不重復(fù)正根, 而方程ax²+2x-1=0總有兩個(gè)不相等的根時(shí), 則必定是兩個(gè)不相等的正根. 故只需Δ=4+4a>0, 即a>-1. 即-1<a<0（5分）

當(dāng)a>0 時(shí), y= ax²+2x-1的圖象為開(kāi)口向上的拋物線(xiàn),  ax²+2x-1≥0 一定有x>0的解.     （6分）           

綜上, a的取值范圍是(-1, 0)∪(0, +∞)   （7分）

  （2）方程

即為

      等價(jià)于方程ax²+(1-2a)x-lnx=0 .    （8分）

      設(shè)H(x)= ax²+(1-2a)x-lnx, 于是原方程在區(qū)間()內(nèi)根的問(wèn)題, 轉(zhuǎn)化為函數(shù)H(x)在區(qū)間()內(nèi)的零點(diǎn)問(wèn)題.     （9分） 

     Hˊ(x)=2ax+(1-2a)-=  （10分）

   當(dāng)x∈(0, 1)時(shí), Hˊ(x)<0,  H(x)是減函數(shù)；  

當(dāng)x∈(1, +∞)時(shí), Hˊ(x)>0,  H(x)是增函數(shù)；  

若H(x)在()內(nèi)有且只有兩個(gè)不相等的零點(diǎn), 只須

       （13分）

解得, 所以a的取值范圍是(1, )        （14分）