Question

如圖，在三棱錐中，直線(xiàn)平面，且
，又點(diǎn)，，分別是線(xiàn)段，，的中點(diǎn)，且點(diǎn)是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)．
證明：直線(xiàn)平面；
(2) 若，求二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

(1)參考解析；(2)

試題分析：（1）點(diǎn)，，分別是線(xiàn)段，，的中點(diǎn)所以, 平面PAC．所以平面PAC．同理證明MN 平面PAC．又由于．所以平面QMN平面PAC．又平面QMN．所以直線(xiàn)平面．
（2）根據(jù)已知條件建立坐標(biāo)系，寫(xiě)出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，并寫(xiě)出相應(yīng)的向量，計(jì)算平面QAN與 MAN的法向量，求法向量的夾角，即可得到結(jié)論．
（1）．連結(jié)QM   因?yàn)辄c(diǎn)，，分別是線(xiàn)段，，的中點(diǎn)
所以QM∥PA     MN∥AC     QM∥平面PAC   MN∥平面PAC
因?yàn)镸N∩QM=M  所以平面QMN∥平面PAC    QK平面QMN
所以QK∥平面PAC         7分
（2）方法1：過(guò)M作MH⊥AN于H，連QH，則∠QHM即為
二面角的平面角, 令
即QM=AM=1所以
此時(shí)sin∠MAH=sin∠BAN=   MH=   記二面角的平面角為
則tan=    COS=即為所求。        14分
方法2：以B為原點(diǎn)，以BC、BA所在直線(xiàn)為x軸y軸建空間直角坐標(biāo)系，設(shè)
則A（0,2,0），M（0,1，0），N（1,0,0），p(0,2,2),Q(0,1,1),
="(0,-1,1),"   
記，則
取   
又平面ANM的一個(gè)法向量，所以cos=
即為所求。              14分