Question

正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為4，E、F分別為棱AB、BC的中點(diǎn).

(1)求證：平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁；?

(2)求點(diǎn)D₁到平面B₁EF的距離.?

Answer 1

(1)證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,0), B(2,2,0), E(2,,0), F(2,2,0), D₁(0,0,4), B₁(2,2,4).

=(-,,0), =(22,22,0), =(0,0,4),

∴·=0, ·=0.

∴EF⊥DB,EF⊥DD₁.

∴EF⊥平面BDD₁B₁.

∴平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁.

(2)解析：設(shè)平面B₁EF的法向量n=(x, y, z),則n⊥,n⊥.?

又=(0,,4),

∴n·=-x+y=0,n·=y+4z=0.

∴x=y, z=-y.?

取y=1,得n=(1,1，-).

又D₁B₁=(22,22,0),∴點(diǎn)D₁到平面B₁EF的距離d= =.

溫馨提示：利用法向量知識(shí)求點(diǎn)到平面的距離，必須找這個(gè)平面過(guò)這點(diǎn)的斜線段(如本例?D₁B₁).