Question

若圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，5），B（5，5，），C（6，-2）三點(diǎn)．
（1）求圓E的圓心和半徑；
（2）求圓E被直線(xiàn)l：x+y+1=0所截得的弦長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)圓的方程是 x²+y²+Dx+Ey+F=0，將題中點(diǎn)的坐標(biāo)代入得到關(guān)于D、E、F的方程組，解之得D、E、F的值，從而得到圓的方程，即可得到圓心坐標(biāo)和半徑r大��；
（2）利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，算出圓心到直線(xiàn)l：x+y+1=0的距離，結(jié)合垂徑定理加以計(jì)算可得該圓被直線(xiàn)l截得的弦長(zhǎng)．

解答：解：（1）設(shè)圓的方程是 x²+y²+Dx+Ey+F=0，
∵經(jīng)過(guò)三點(diǎn)A（-1，5），B（5，5），C（6，-2），
∴將這三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入，可得 

25+25+5D+5E+F=0 36+4+6D-2E+F=0 1+25-D+5E+F=0

，
解之得

D=-4 E=-2 F=-20

，可得所求圓的方程為 x²+y²-4x-2y-20=0，
化成標(biāo)準(zhǔn)方程：（x-2）²+（y-1）²=25，
∴圓心坐標(biāo)為（2，1），半徑r=5；
（2）由（1）得圓心（2，1）到直線(xiàn)x+y+1=0的距離為d，
則d=

|2+1+1|

2

=2

2

，
根據(jù)垂徑定理，可得直線(xiàn)l被圓截得的弦長(zhǎng)為：
l=2

r2-d2

=2

52-(2 2 )2

=2

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．

點(diǎn)評(píng)：本題給出經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的圓，求圓的圓心和半徑，并依此求直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)．著重考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．