Question

如果數(shù)列同時滿足：（1）各項(xiàng)均不為，（2）存在常數(shù)k, 對任意都成立，則稱這樣的數(shù)列為“類等比數(shù)列” .由此等比數(shù)列必定是“類等比數(shù)列” .問：
（1）各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列是否為“類等比數(shù)列”？說明理由.
（2）若數(shù)列為“類等比數(shù)列”，且(a，b為常數(shù))，是否存在常數(shù)λ，使得對任意都成立？若存在，求出λ；若不存在，請舉出反例．
（3）若數(shù)列為“類等比數(shù)列”，且，(a，b為常數(shù))，求數(shù)列的前n項(xiàng)之和；數(shù)列的前n項(xiàng)之和記為，求.

Answer 1

（1）是，（2），（3）

試題分析：（1）解決新定義問題，關(guān)鍵根據(jù)“定義”列條件，根據(jù)“定義”判斷. 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051421333491.png" style="vertical-align:middle;" />為各項(xiàng)均不為的等差數(shù)列，故可設(shè)（d、b為常數(shù)），由得得為常數(shù)，所以各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列為“類等比數(shù)列”，（2）存在性問題，通常從假設(shè)存在出發(fā)，列等量關(guān)系，將是否存在轉(zhuǎn)化為對應(yīng)方程是否有解. 先從必要條件入手，再從充分性上證明：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051421723704.png" style="vertical-align:middle;" />所以所以即得所以
而（3）由（2）易得，均為公比為的等比數(shù)列，，，
[解] （1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051421333491.png" style="vertical-align:middle;" />為各項(xiàng)均不為的等差數(shù)列，故可設(shè)（d、b為常數(shù)）                                 1分
由得     2分
得為常數(shù)，所以各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列為“類等比數(shù)列”  4分
（2）存在常數(shù)使 （只給出結(jié)論給2分）
（或從必要條件入手）
證明如下：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051421723704.png" style="vertical-align:middle;" />所以
所以即    6分
由于此等式兩邊同除以
得                              8分
所以
即當(dāng)都有 
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051422284890.png" style="vertical-align:middle;" />所以
所以
所以對任意都有此時    10分
（3） 11分

均為公比為的等比數(shù)列                      12分
                    14分
               16分
18分