Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系.已知點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程為（，為參數(shù)），點(diǎn)在曲線上.

（1）求點(diǎn)軌跡的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）求的最大值.

Answer 1

【答案】(1) 曲線的直角坐標(biāo)方程為;(2) .

【解析】分析：（1）消去參數(shù)，即可得普通方程，注意變量的范圍；

（2）點(diǎn)在曲線上，化為直角方程即為圓，數(shù)形結(jié)合利用圓和線段的關(guān)系求最值即可.

詳解：

（1）由消去參數(shù)，得.

又，∴.

故點(diǎn)軌跡的變通方程是.

∵，∴，∴，即.

故曲線的直角坐標(biāo)方程為.

（2）如圖：

由題意可得，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在圓上，

∵圓的圓心到直線的距離，

∴直線與圓相切，且切點(diǎn)為.

易知線段上存在一點(diǎn)，

則點(diǎn)與圓心的連線，與圓的交點(diǎn)滿足取最大值.

即當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，取最大值.

∵，

∴的最大值為.