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        1. 已知數(shù)列{an}滿足a1+a2+…+an=
          an
          2
          +
          1
          2
          a
          2
          n
          (其中n∈N*),a1≠0,且an+an-1≠0.
          (Ⅰ)求{an}的通項(xiàng)公式;
          (Ⅱ)設(shè)數(shù)列bn=n•2an,{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n,若對(duì)于任意n∈N*,都有Tn>logm(m+1)成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
          分析:(Ⅰ)由題設(shè)知Sn=
          an
          2
          (an+1)
          ,故a1=
          a1
          2
          (a1+1)
          ,解得a1=1;1+a2=
          a2
          2
          (a2+1)
          ,解得a2=2,或a2=-1(舍)3+a3=
          a3
          2
          (a3+1)
          ,解得a3=3,或a3=-2(舍).由此猜想:an=n.用數(shù)學(xué)歸納法能夠進(jìn)行證明.
          (Ⅱ)由an=n,知bn=n•2an=n•2n,故Tn=2+2×22+3×23+…+(n-1)•2n-1+n•2n,由錯(cuò)位相減法能夠求出結(jié)果.
          解答:解:(Ⅰ)∵數(shù)列{an}滿足a1+a2+…+an=
          an
          2
          +
          1
          2
          a
          2
          n
          (其中n∈N*),a1≠0,且an+an-1≠0,
          Sn=
          an
          2
          (an+1)
          ,
          a1=
          a1
          2
          (a1+1)
          ,解得a1=1;
          1+a2=
          a2
          2
          (a2+1)
          ,解得a2=2,或a2=-1(舍)
          3+a3=
          a3
          2
          (a3+1)
          ,解得a3=3,或a3=-2(舍).
          由此猜想:an=n.
          用數(shù)學(xué)歸納法證明:
          ①n=1時(shí),a1=1,成立;
          ②假設(shè)n=k時(shí),等式成立,即:ak=k,
          當(dāng)n=k+1時(shí),1+2+3+…+k+ak+1=
          ak+1
          2
          (ak+1 +1)
          ,
          ak+12-ak+1-k(k+1)=0,
          ∴ak+1=k+1,或ak+1=-k(舍),也成立,
          由①②知,an=n.
          (Ⅱ)∵an=n,∴bn=n•2an=n•2n,
          ∴Tn=b1+b2+…+bn=2+2×22+3×23+…+(n-1)•2n-1+n•2n,①
          2Tn=22+2×23+3×24+…+(n-1)×2n+n×2n+1,②
          ∴①-②,得-Tn=2+22+23+…+2n-n×2n+1
          =
          2×(1-2n)
          1-2
          -n×2n+1
          Tn=2+(n-1)•2n+1
          ∵對(duì)于任意n∈N*,都有Tn>logm(m+1)成立,
          ∴對(duì)于任意n∈N*,都有2+(n-1)•2n+1>logm(m+1)成立,
          ∵當(dāng)n=1時(shí),2+(n-1)•2n+1取最小值2,
          ∴l(xiāng)ogm(m+1)<2=logmm2
          當(dāng)m>1時(shí),m+1<m2,解得m
          1+
          5
          2
          ;
          當(dāng)0<m<1時(shí),m+1>m2,解得0<m<1.
          故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(0,1)∪(
          1+
          5
          2
          ,+∞)
          點(diǎn)評(píng):本題考查{an}的通項(xiàng)公式的求法,設(shè)數(shù)列bn=n•2an,{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n,若對(duì)于任意n∈N*,都有Tn>logm(m+1)成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.綜合性強(qiáng),難度大,有一定的探索性,對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高,是高考的重點(diǎn).解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知數(shù)列{an}滿足:a1=1且an+1=
          3+4an
          12-4an
          , n∈N*

          (1)若數(shù)列{bn}滿足:bn=
          1
          an-
          1
          2
          (n∈N*)
          ,試證明數(shù)列bn-1是等比數(shù)列;
          (2)求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Sn;
          (3)數(shù)列{an-bn}是否存在最大項(xiàng),如果存在求出,若不存在說(shuō)明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知數(shù)列{an}滿足
          1
          2
          a1+
          1
          22
          a2+
          1
          23
          a3+…+
          1
          2n
          an=2n+1
          則{an}的通項(xiàng)公式
           

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知數(shù)列{an}滿足:a1=
          3
          2
          ,且an=
          3nan-1
          2an-1+n-1
          (n≥2,n∈N*).
          (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
          (2)證明:對(duì)于一切正整數(shù)n,不等式a1•a2•…an<2•n!

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知數(shù)列{an}滿足an+1=|an-1|(n∈N*
          (1)若a1=
          54
          ,求an
          (2)若a1=a∈(k,k+1),(k∈N*),求{an}的前3k項(xiàng)的和S3k(用k,a表示)

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2012•北京模擬)已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2,且a1=1,那么它的通項(xiàng)公式an等于
          2n-1
          2n-1

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          同步練習(xí)冊(cè)答案