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        1. 精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
          已知數列{an}滿足a1+a2+…+an=
          an
          2
          +
          1
          2
          a
          2
          n
          (其中n∈N*),a1≠0,且an+an-1≠0.
          (Ⅰ)求{an}的通項公式;
          (Ⅱ)設數列bn=n•2an,{bn}的前n項和為Tn,若對于任意n∈N*,都有Tn>logm(m+1)成立,求實數m的取值范圍.
          分析:(Ⅰ)由題設知Sn=
          an
          2
          (an+1)
          ,故a1=
          a1
          2
          (a1+1)
          ,解得a1=1;1+a2=
          a2
          2
          (a2+1)
          ,解得a2=2,或a2=-1(舍)3+a3=
          a3
          2
          (a3+1)
          ,解得a3=3,或a3=-2(舍).由此猜想:an=n.用數學歸納法能夠進行證明.
          (Ⅱ)由an=n,知bn=n•2an=n•2n,故Tn=2+2×22+3×23+…+(n-1)•2n-1+n•2n,由錯位相減法能夠求出結果.
          解答:解:(Ⅰ)∵數列{an}滿足a1+a2+…+an=
          an
          2
          +
          1
          2
          a
          2
          n
          (其中n∈N*),a1≠0,且an+an-1≠0,
          Sn=
          an
          2
          (an+1)
          ,
          a1=
          a1
          2
          (a1+1)
          ,解得a1=1;
          1+a2=
          a2
          2
          (a2+1)
          ,解得a2=2,或a2=-1(舍)
          3+a3=
          a3
          2
          (a3+1)
          ,解得a3=3,或a3=-2(舍).
          由此猜想:an=n.
          用數學歸納法證明:
          ①n=1時,a1=1,成立;
          ②假設n=k時,等式成立,即:ak=k,
          當n=k+1時,1+2+3+…+k+ak+1=
          ak+1
          2
          (ak+1 +1)
          ,
          ak+12-ak+1-k(k+1)=0,
          ∴ak+1=k+1,或ak+1=-k(舍),也成立,
          由①②知,an=n.
          (Ⅱ)∵an=n,∴bn=n•2an=n•2n,
          ∴Tn=b1+b2+…+bn=2+2×22+3×23+…+(n-1)•2n-1+n•2n,①
          2Tn=22+2×23+3×24+…+(n-1)×2n+n×2n+1,②
          ∴①-②,得-Tn=2+22+23+…+2n-n×2n+1
          =
          2×(1-2n)
          1-2
          -n×2n+1,
          Tn=2+(n-1)•2n+1
          ∵對于任意n∈N*,都有Tn>logm(m+1)成立,
          ∴對于任意n∈N*,都有2+(n-1)•2n+1>logm(m+1)成立,
          ∵當n=1時,2+(n-1)•2n+1取最小值2,
          ∴l(xiāng)ogm(m+1)<2=logmm2,
          當m>1時,m+1<m2,解得m
          1+
          5
          2
          ;
          當0<m<1時,m+1>m2,解得0<m<1.
          故實數m的取值范圍是(0,1)∪(
          1+
          5
          2
          ,+∞)
          點評:本題考查{an}的通項公式的求法,設數列bn=n•2an,{bn}的前n項和為Tn,若對于任意n∈N*,都有Tn>logm(m+1)成立,求實數m的取值范圍.綜合性強,難度大,有一定的探索性,對數學思維能力要求較高,是高考的重點.解題時要認真審題,仔細解答.
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          1
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