Question

已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中點．
（1）求AC與PB所成的角余弦值；
（2）求二面角A-MC-B的余弦值．

Answer 1

分析：由“PA⊥底面ABCD，且∠DAB=90°”可知，此題建立空間直角坐標(biāo)系相當(dāng)方便．以A為坐標(biāo)原點，AD長為單位長度，分別以AD、AB、AP為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點坐標(biāo)計算各題．
（1）利用余弦定理可知：cos＜

AC

，

PB

＞=

AC • PB

| AC |•| PB |

=

10

5

．所以，AC與PB所成的角余弦值為

10

5

．
（2）在MC上取一點N（x，y，z），要使AN⊥MC，只需

AN

•

MC

=0，所以N點坐標(biāo)為(

1

5

，1，

2

5

)，∠ANB為所求二面角A-MC-B的平面角，則cos＜

AN

，

BN

＞=-

2

3

，所以所求二面角的余弦值為-

2

3

．
另解：可以計算兩個平面的法向量分別為：平面AMC的法向量

n1

=(1，-1，2)，平面BMC的法向量為

n2

=(1，1，2)，cos＜

n1

，

n2

＞=

2

3

，所求二面角A-MC-B的余弦值為-

2

3

．

解答：證明：以A為坐標(biāo)原點AD長為單位長度，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則各點坐標(biāo)為A(0，0，0)，B(0，2，0)，C(1，1，0)，D(1，0，0)，P(0，0，1)，M(0，1，

1

2

)．
（1）解：因

AC

=(1，1，0)，

PB

=(0，2，-1)，
故|

AC

|=

2

，|

PB

|=

5

，

AC

•

PB

=2，
所以cos＜

AC

，

PB

＞=

AC • PB

| AC |•| PB |

=

10

5

．
所以，AC與PB所成的角余弦值為

10

5

．

（2）解：在MC上取一點N（x，y，z），則存在使

NC

=λ

MC

，

NC

=(1-x，1-y，-z)，

MC

=(1，0，-

1

2

)，∴x=1-λ，y=1，z=

1

2

λ.．
要使AN⊥MC，只需

AN

•

MC

=0即x-

1

2

z=0，解得λ=

4

5

．
可知當(dāng)λ=

4

5

時，N點坐標(biāo)為(

1

5

，1，

2

5

)，能使

AN

•

MC

=0．
此時，

AN

=(

1

5

，1，

2

5

)，

BN

=(

1

5

，-1，

2

5

)，有

BN

•

MC

=0，
由

AN

•

MC

=0，

BN

•

MC

=0得AN⊥MC，BN⊥MC．所以∠ANB為
所求二面角A-MC-B的平面角．∵|

AN

|=

30

5

，|

BN

|=

30

5

，

AN

•

BN

=-

4

5

．
∴cos(

AN

，

BN

)=

AN • BN

| AN |•| BN |

=-

2

3

．故所求的二面角的余弦值為-

2

3

．

點評：本小題考查空間中的異面直線所成的角、二面角、解三角形等基礎(chǔ)知識考查空間想象能力和思維能力．