Question

（1）已知梯形ABCD是直角梯形，按照斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出它的直觀圖A′B′C′D′如圖所示，其中A′D′=2，B′C′=4，A′B′=1，求直角梯形以BC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的表面積．
（2）定線段AB所在的直線與定平面α相交，P為直線AB外的一點(diǎn)，且P不在α內(nèi)，若直線AP、BP與α分別交于C、D點(diǎn)，求證：不論P(yáng)在什么位置，直線CD必過(guò)一定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)已知中的直觀圖，可分析出原圖是一個(gè)上底為2，下底為4，高為2的直角梯形，故旋轉(zhuǎn)后得到一個(gè)圓臺(tái)，代入圓臺(tái)表面積公式，可得答案．
（2）由已知中定線段AB所在的直線與定平面α相交，直線AP、BP與α分別交于C、D點(diǎn)，根據(jù)公理3可判斷直線CD必過(guò)一定點(diǎn)．
解答：解：（1）由斜二測(cè)畫(huà)法可知AB=2，BC=4，AD=2
進(jìn)而DC=，
旋轉(zhuǎn)后形成的幾何體的表面積

證明：（2）設(shè)定線段AB所在直線為l，與平面α交于O點(diǎn)，即l∩α=O．
由題意可知，AP∩α=C，BP∩α=D，∴C∈α，D∈α．
又∵AP∩BP=P．
∴AP、BP可確定一平面β且C∈β，D∈β．
∴CD=α∩β．∴A∈β，B∈β．∴l(xiāng)?β．∴O∈β．∴O∈α∩β，即O∈CD．
∴不論P(yáng)在什么位置，直線CD必過(guò)一定點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是斜二側(cè)畫(huà)法，空間直線與直線的位置關(guān)系，平面的基本性質(zhì)，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．