Question

已知數(shù)列是等差數(shù)列，公差為2，a₁，=11，a_n+1=λa_n+b_n．
（I）用λ表示b_n；
（II）若的值；
（III）在（II）條件下，求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)所給的數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列且公差是2，應(yīng)用等差數(shù)列的定義，寫出連續(xù)兩項(xiàng)之差的關(guān)系，得到數(shù)列{a_n}的遞推式，代入定義的新數(shù)列，整理成最簡形式．
（II）本題以數(shù)列為條件，根據(jù)兩項(xiàng)的比值的極限是4，寫出極限式，檢驗(yàn)變量λ的值，求出結(jié)果．
（III）這是一個(gè)求數(shù)列的和的問題，寫出數(shù)列的通項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)需要分組來解，分組后一個(gè)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和，一個(gè)用錯(cuò)位相減，這是一個(gè)典型的數(shù)列求和問題．
解答：解：（I）因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，公差為2
∴b_n=3ⁿ⁺¹+2λⁿ⁺¹-λ•3ⁿ=2λⁿ⁺¹+3ⁿ（3-λ）??
（II）又，
與已知矛盾，
∴λ≠3
當(dāng)λ＞3時(shí)，
∴λ=4
（III）由已知當(dāng)λ=4時(shí)，
令
∴數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和
點(diǎn)評(píng)：有的數(shù)列可以通過遞推關(guān)系式構(gòu)造新數(shù)列，構(gòu)造出一個(gè)我們較熟悉的數(shù)列，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．這類問題考查學(xué)生的靈活性，考查學(xué)生分析問題及運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力，這是一種化歸能力的體現(xiàn)．