Question

已知函數(shù)

（Ⅰ）若為的極值點，求實數(shù)的值；

（Ⅱ）若在上為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）當時，方程有實根，求實數(shù)的最大值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）0

【解析】

試題分析：（I）……2分

因為為的極值點，所以，即，

解得。經(jīng)檢驗，合題意……4分（沒有寫經(jīng)檢驗的減1分）

（II）因為函數(shù)在上為增函數(shù)，所以

在上恒成立。

?當時，在上恒成立，所以在上為增函數(shù)，故 符合題意。 ……………………6分                                   

?當時，由函數(shù)的定義域可知，必須有對恒成立，

故只能，所以在上恒成立。  

令函數(shù)，其對稱軸為，

因為，所以，

要使在上恒成立，

只要即可，即，

所以。

因為，所以。

綜上所述，a的取值范圍為。………8分

（Ⅲ）當時，方程可化為。

問題轉化為在上有解，即求函數(shù)的值域。

因為函數(shù)，令函數(shù)，………10分

則，

所以當時，，從而函數(shù)在上為增函數(shù)，

當時，，從而函數(shù)在上為減函數(shù)，

因此。

而，所以，因此當時，b取得最大值0.  ………12分  

考點：函數(shù)導數(shù)的幾何意義及利用導數(shù)求極值最值

點評：本題中的不等式恒成立或方程有實根轉化為求構造的新函數(shù)的最值問題，這是函數(shù)題中最常用的轉化方法