Question

已知函數f（x）=ax³+

3x

a

，若a＜0時，f′（1）≤m恒成立，則實數m的取值范圍是（　�。�

• A．（-∞，-6]
• B．[-6，+∞）
• C．[2

  3

  ，+∞）
• D．[6，+∞）

Answer 1

分析：已知函數的解析式f（x）=ax³+

3x

a

，可得導數f′（x）=3ax²+

3

a

，f′（1）=3a+

3

a

，顯然3a×

3

a

=9，為常數，根據基本不等式a+b≥2

ab

（a＞0，b＞0）．又a的取值為負數，則-a＞0，可得m的取值范圍．

解答：解：∵f（x）=ax³+

3x

a

∴f′（x）=3ax²+

3

a

∴f′（1）=3a+

3

a

  又∵a＜0∴-3a＞0，-

3

a

＞0
∴-3a-

3

a

≥2

(-3a)×(- 3 a )

   即-3a-

3

a

≥6（當且僅當-3a=-

3

a

即a=-1時等號成立）
∴3a+

3

a

≤-6
  由題意當a＜0時，f′（1）≤m恒成立
∴m≥-6，所以m的取值范圍是[-6，+∞）．
  故選B．

點評：本題考查函數的求導，著重點在于考查基本不等式a+b≥2

ab

（a＞0，b＞0）的應用，尤其要注意其中的條件a＞0，b＞0，如不是正數，要先轉換為正數再處理．